Pillole:IL CALCOLO INFINITESIMALE

PILLOLE: IL CALCOLO INFINITESIMALE

Il calcolo infinitesimale in matematica di cui faremo una sintesi a seguire, si sviluppò in ampia misura nel XVI° secolo grazie agli studi, peraltro dettati dalle necessità contingenti anche e soprattutto della Fisica, che vide in questo secolo sviluppi importanti, per i quali serviva uno strumento matematico più adeguato e maggiormente utile alle necessità degli studiosi , come accadde per Newton. In corso d’opera però di questo studio e questa ricerca, sulla quale si è poi anche fondato l’intero sviluppo della matematica per tutto l’intero secolo: il 700, abbiamo assistito ad un aspro scontro fra due scienziati Isaac Newton, Inglese, e Gottfried leibniz, tedesco. Una aspra controversia che ha le sue origini in una pubblicazione apparsa sui documenti scientifici dell’epoca, che si intitolò “ Nova Methodus “ da parte di Leibniz , che scatenò le ire di Newton, mai più placate in seguito e anche nei nostri giorni trovano ancora vita. Prima di questo fatto fra i due scienziati se non un idillio, di certo c’era una amicizia dettata per lo più dalla ricerca scientifica. Insomma in Newton, dopo la lettura dell’articolo crebbero sospetti e le sue conclusioni furono che Leibniz gli avesse carpito alcune sue intuizioni. Grazie a questo Leibniz era riuscito a sbloccare alcune sue ricerche matematiche. Insomma da quella pubblicazione appariva chiaramente che Leibniz fosse il vero inventore del calcolo infinitesimale, sulla base di risultati a cui Newton era pervenuto diversi lustri prima. Però Newton mai aveva pubblicato nulla dei suoi studi e le sue accuse, anche per un tribunale della comunità scientifica dell’epoca, non avendo prove sulle sue ragioni, erano inconcludenti. Ovviamente Leibniz non stette zitto e rispose alle accuse affermando che Newton non aveva saputo cogliere in tutti questi anni la bontà scientifica delle sue ricerche e lui veniva accusato senza prove e su indizi inesistenti. Questo scontro ha lasciato poi nei tempi a venire uno strascico di polemiche fra i matematici continentali e quelli Britannici che non si è mai sanato.
Newton nella propria ricerca abbandona la posizione algebrica statica cartesiana degli enti geometrici, per una definizione dinamica. Questa nuova concezione delle grandezze geometriche pensate come generate dal Moto e quindi dipendenti tutte dal Tempo sta alla base del pensiero di Newton. A questo studio Newton da un nome: “Methodus fluxionum et seriarum infinaturom “ che si svolge introno al 1671. E’ in questa opera che vengono introdotti i concetti ( che troveremo) di fluente e di flussione. Fleunte come una quantità generata da un Moto Continuo: si pensi ad un’area che cresce nel Tempo, oppure alla curva che descrive un punto in movimento e così via. Mentre la Flussione si identifica nella Velocità con cui genera la Fluente. Il problema alla fine che si pone è il seguente: data una relazione fra Fluenti x,y, si trovi la relazione fra le rispettive Flussioni x* , y*. Insomma è come dire : consideriamo due grandezze x,y che variano nel tempo ( due fluenti) e supponiamo che valga fra di loro istante per istante la relazione ( equazione), Y= X2: sia calcoli, col metodo di Newton la relazione esistente fra le rispettive flussioni. Ora Newton usa una terminologia adattata al suo tempo, da cui nasce poi il calcolo infinitesimale moderno.
CONCLUSIONI
Sappiamo che Cartesio aveva affrontato il problema degli infinitesimi dal punto di vista statico, dando risposte con la geometria. Ma la Fisica poneva nuove domande e richiedeva nuove risposte. La soluzione generale poi al problema di un corpo, che crea una curva in movimento alla fine sta alla base di questa spiegazione . A tutto questo furono date soluzioni sia da Leibniz che da Newton. Leibeniz introduce il concetto di infinitesimo o quantità di moto infinitamente piccola ed anche di derivata. Mentre Newton in contemporanea sviluppò un metodo del tutto equivalente basato come si è visto sui concetti di fluente e di flussione. In matematica moderna poi si è imposta la terminologia di Leibniz ed è con questa che si lavorerà e lavoriamo pure oggi. L’idea di fondo è alla fine è quella di considerare la tangente non più come la retta che tocca una curva in un solo punto, bensì come la retta che passa per due punti infinitamente vicini. Ma cosa significa distanza infinitesima fra due punti? Per Leibniz trattasi di un numero diverso da zero e al tempo stesso minore di ogni numero 1/N. Ora tra i numeri reali non esiste alcun numero con queste caratteristiche e Leibniz alla fine introduce insieme ai numeri
normali anche quelli infinitesimi. Infatti con questi nuovi numeri il problema della
tangente è risolto in termini generali. Da questo sviluppo di pensiero otteniamo una equazione la cui soluzione corrisponde a quella del problema seguente: dato un sistema di assi cartesiani X 0 Y . Si consideri per esempio il movimento di un corpo ponendo sulle ascisse gli spazi che percorre e sulle ordinate i tempi impiegati a percorrerli. Si sa che se il corpo si muove di moto accelerato esso da vita ad una curva. Sappiamo anche che la velocità media del corpo è data dallo spazio S. percorso diviso il tempo impiegato a percorrerlo cioè S/T. Se si considera una retta che taglia questa curva creata dal moto del corpo in due punti a e b , essa sarà la velocità media fra questi due punti. Si pensa che questi due punti si avvicinino fino ad un intervallo infinitesimo, allora questa retta è da considerare come tangente nel punto di massimo avvicinamento dei due punti e di conseguenza il rapporto del nuovo punto diventa ds/dt che corrisponde alla velocità all’istante del corpo nel punto P della curva . Questa velocità espressa in termini trigonometrici non è altro che il coefficiente angolare della retta R tangente la curva in questo punto , ovvero la velocità all’istante. Questo coefficiente angolare si identifica nella derivata. Tutto ciò non solo fa capire che il calcolo infinitesimale è lo strumento matematico più veloce e certo che ha sviluppato la matematica fino ai nostri giorni, ma col calcolo statico cartesiano sarebbe stato assai più complicato caricarlo anche sulle macchine ( computer ) e di certo assai più lungo e farraginoso usato come metodo di calcolo generale: Il calcolo infinitesimale, ovvero l’analisi matematica moderna, ha reso più veloce e sicuro il mondo dei calcoli e la comprensione delle scienze soprattutto Fisiche.
ASTIANATTE

FRASI CELEBRI DI LEIBNIZ E NEWTON

“È assurdo impiegare gli uomini di intelligenza eccellente per fare calcoli che potrebbero essere affidati a chiunque se si usassero delle macchine.”
Leibniz

“Non so come io appaia al mondo, ma per quel che mi riguarda mi sembra di essere stato solo un fanciullo sulla spiaggia che si diverte nel trovare qua e là una pietra più liscia delle altre o una conchiglia più graziosa, mentre il grande oceano della verità rimane inesplorato davanti”
Newton