IL PENSIERO MATEMATICO COSA E’

Cosa è il pensiero matematico?
Questa è una bella domanda, la quale non ci consente di fermarci alla considerazione del sapere matematico nella sua strumentalità, nel suo essere un semplice strumento operativo. A questa domanda però non possiamo noi dare una risposta completa ed anche definitiva. Però Se si affronta il problema in questi termini per dare ad esso una risposta totale, di certo siamo costretti ad ammettere che il pensiero matematico, nel suo manifestarsi, si trova ad avere a che fare con la verità, con la poesia e con la bellezza: quindi anche con la libertà umana. Il pensiero matematico dunque riguarda l’essere umano nella sua essenza e nella sua totalità.
Intanto dobbiamo dire a cosa serve la matematica e di cosa si tratta. la matematica produce un ragionamento logico indotto dalla nostra necessità di conoscere sempre più e sempre meglio la realtà che ci circonda. Per fare questo abbiamo inventato i numeri , coi quali si sono definite le lunghezze, le grandezze gli spazi e si sono conclusi pensieri sempre più complessi riguardo alle loro misure. Abbiamo costruito assunti come i teoremi col partire da definizioni di base naturalmente vere i postulati , per dare un senso logico alla realtà che ci circonda e una risposta alle numerose nostre domande. Alla fine però abbiamo inteso dare alla realtà componenti essenziali del nostro pensiero per conoscerla e con questo credere di avvicinarci sempre di più al pensiero numero uno da cui tutto ha avuto inizio. Benissimo. Chi ci dice però che l’intero nostro ragionamento logico scientifico nel proprio insieme fatto di numeri, postulati, teoremi, algoritmi, per dare un senso sempre più compiuto e determinato alla misura della natura, sia davvero la realtà per ciò che veramente è come Bellezza Vivente? Nessuno, se non noi stessi. Infatti da sempre abbiamo dovuto passare oltre e trovare altro pensiero per andare avanti con continuità con la conoscenza. Oggi però dobbiamo abbandonare ogni visione deterministica e materialistica della vita universale. Dobbiamo costruire nuovo pensiero per andare incontro ad un reale di certo differente da ciò che abbiamo creduto fosse, che non sembra neppure una logica continuità del passato . Per questa nuova avventura di Verità e di Bellezza l’umanità deve fare un grande cambiamento di pensiero i cui sviluppi di certo non seguiranno la continuità evolutiva fino ad oggi percorsa. Dovranno andare oltre col cogliere anche e soprattutto nuovi strumenti di misura dello stesso pensiero matematico.
Il pensiero matematico riguarda l’essere umano nella propria essenza di Verità e di Bellezza. E forse non ci saranno più né postulati, né teoremi, né algoritmi , bensì altro che dovremo imparare a conoscere? Non si sa. di certo i nuovi assunti della logica matematica , che provengono come sappiamo dal pensiero di Kant riguardo ai giudizi sintetici a priori di spazio, tempo e categorie e poi con con Cantor, Frege , B. Russel, Godel ,che hanno sviluppato nuovo pensiero logico , la matematica ha chiarito molto dei propri assunti di pensiero, sollecitata anche dalle nuove necessità di misura dettate e dalla Fisica.
Da ricordare che anche Cartesio nel XVII costruì la propria Geometria e a seguire anche Newton e Leibniz inventarono il calcolo infinitesimale senza che l’uno sapesse del lavoro dell’altro. E’ evidente che riguardo alla Geometria l’approccio conoscitivo espresso da Kant è diverso da quello della matematica e lo si nota già dal fatto che vede la Geometria Euclidea (quella che lui conosceva), un processo di ragionamento che si sviluppa nello Spazio, mentre coi numeri viene coinvolto il tempo. A cavallo poi fra il XIX e il XX secolo si evidenzia la presenza di un matematico tedesco fra i più importanti fino a quel momento

APPUNTI SULLA GEOMETRIA DI HILBERT COME GENERALIZZAZIONE LOGICA DELLA GEOMETRIA INTUITIVA DI EUCLIDE

Sì, David Hilbert ha cercato di costruire una base assiomatica formale per la geometria euclidea, ma il suo lavoro è una ricostruzione rigorosa e logica della geometria, che differisce dall’approccio intuitivo di Euclide. Hilbert non ha semplicemente ripreso la geometria intuitiva di Euclide, ma ha invece identificato e corretto le lacune nella sua impostazione, fornendo un sistema di 20 assiomi che includeva i postulati mancanti per garantire coerenza e completezza.
Ecco le principali differenze:
Euclide: Intuizione e definizioni assenti.
Gli Elementi di Euclide si basano su definizioni e postulati che danno per scontato il significato intuitivo di concetti come "punto" e "retta".
Hilbert: Rigore logico.
In "I fondamenti della geometria" (1899), Hilbert presenta un sistema formale basato su enti primitivi (come punto e retta) e relazioni primitive (come l’appartenenza), da cui derivano tutti i teoremi.
Hilbert ha aggiunto assiomi che Euclide non aveva esplicitamente formulato, ma che erano impliciti nel suo pensiero intuitivo, come l’assioma di continuità di Cantor-Archimede. Infatti, mentre Euclide mirava a un sistema deduttivo per descrivere la realtà fisica intuitiva, Hilbert mirava a un sistema assiomatico formale, analizzando la coerenza, la completezza e l’indipendenza degli assiomi stessi.
In sintesi, il contributo di Hilbert è stata la formalizzazione e la rigorosa fondazione logica della geometria euclidea, andando oltre l’approccio intuitivo.
Sì, David Hilbert ha cercato di costruire una base assiomatica formale per la geometria euclidea, ma il suo lavoro è una ricostruzione rigorosa e logica della geometria, che differisce dall’approccio intuitivo di Euclide. Hilbert non ha semplicemente ripreso la geometria intuitiva di Euclide, ma ha invece identificato e corretto le lacune nella sua impostazione, fornendo un sistema di 20 assiomi che includeva i postulati mancanti per garantire coerenza e completezza.
Ecco le principali differenze:
Euclide: Intuizione e definizioni assenti.
Gli Elementi di Euclide si basano su definizioni e postulati che danno per scontato il significato intuitivo di concetti come "punto" e "retta".
Hilbert: Rigore logico.
In "I fondamenti della geometria" (1899), Hilbert presenta un sistema formale basato su enti primitivi (come punto e retta) e relazioni primitive (come l’appartenenza), da cui derivano tutti i teoremi.
Hilbert ha aggiunto assiomi che Euclide non aveva esplicitamente formulato, ma che erano impliciti nel suo pensiero intuitivo, come l’assioma di continuità di Cantor-Archimede. Infatti, mentre Euclide mirava a un sistema deduttivo per descrivere la realtà fisica intuitiva, Hilbert mirava a un sistema assiomatico formale, analizzando la coerenza, la completezza e l’indipendenza degli assiomi stessi.
In sintesi, il contributo di Hilbert è stata la formalizzazione e la rigorosa fondazione logica della geometria euclidea, andando oltre l’approccio intuitivo.

CONCETTUALISMO MATEMATICO , INTUIZIONISMO , COSCIENZA

CONCETTUALISMO MATEMATICO , INTUIZIONISMO , COSCIENZA

Forme estreme di concettualismo sembra sostengano anche con certezza che la mente ha il potere di creare a suo piacimento qualunque numero od altra entità in modo assolutamente libero e onnipotente. Insomma i postulati del matematici si possono dunque immaginare paragonabili agli atti creativi di una divinità. Come dire: quando il matematico pensa e ordina: " si postuli l’esistenza dei numeri di qualunque natura ", li fa esistere , perché egli ha una potenza creatrice onnipotente che crea dal nulla . Tutto ciò comunque sta fuori dalle reali possibilità dei matematici e la creazione divina non sta nelle loro funzioni . Di certo il concettualista che suppone che il pensiero possa far esistere i numeri, deve comunque credere che in detto metodo creativo c’è tanta differenza fra il dire e il fare. Come si sa fu Kant il più illustre sostenitore del concettualismo della matematica dei numeri. Egli infatti ritenne che tutte le leggi dei numeri, così come le leggi della geometria Euclidea, fossero a priori e sintetiche. Kant comunque ebbe una visione sintetica della geometria euclidea, che si collegava al concetto di spazio e la stessa visione sintetica dei numeri compresa però in una successione temporale . Come dire la geometria legata alla coscienza dello spazio e la matematica dei numeri , alla coscienza del tempo. Kant in realtà dice che mediante l’intuizione sintetica a priori si conoscono casi particolari riferiti ai numeri. la migliore concezione però resta quella della giustificazione degli assiomi della teoria dei numeri , che non necessita di alcuna dimostrazione, come le operazioni coi numeri.. Ora se questi assiomi del contare si fondano sulla loro concezione, cioè dettati dal pensiero, allora la concezione Kantiana dell’aritmetica suppone che i numeri esistano solo quando essi si possono ottenere contando. Quindi non esisterà nessun numero ultimo che risulterà essere in definitiva maggiore di tutti gli altri. Infatti è sempre possibile continuare oltre ogni numero che si sia raggiunto a contare. Ma anche riguardo al tempo servirebbe un tempo per contare fino all’infinito. ( Cioè servirebbe un intervallo di tempo infinito più di quanto si può avere a disposizione ). Infatti secondo Kant il tempo è infinito, ma questa infinità o illimitatezza, riguarda la somma infinita di intervalli di tempo finiti però. Quindi secondo Kant come non esiste nessuna linea geometrica di lunghezza infinita, perché per farlo servirebbe un tempo infinito . Ergo ,Kant , sia a proposito delle linee che dei numeri ricorre ad una sorta di teoria dell’infinito potenziale. Per concludere la matematica dei numeri si fa combinando concetti a priori ed intuizioni. Dove le intuizioni della esperienza e della creatività danno profonda comprensione, mentre gli assiomi sono i concetti a priori e danno la struttura rigorosa universale , che permette l’intuizione solida delle teorie che non negano il ruolo della esperienza. Come dire: l’intuizionismo matematico , oltre a non escludere la parte concettuale degli assiomi, vede la matematica come una attività mentale costruttiva , che si fonda sulla intuizione del tempo e sulla creazione di oggetti matematici, cioè i numeri. Di certo, la visione kantiana è stata una svolta importante per la matematica, ma i matematici contemporanei hanno integrato l’intuizionismo Kantiano col logicismo. Però non v’è alcuna certezza che i concetti matematici come i postulati, non siano innati e sui quali si sia poi costruito tutto il comporto matematico fino al nostro tempo e forse anche continuerà per il futuro. E qui non trattasi di una umanità che crea ex novo , bensì di umanità che svolge concetti, condizioni innate, per costruire se stessa. Così facendo svolge un processo analitico cosciente. Infatti L’universale innato degli esseri viventi resta di certo la coscienza. Oggi anche la fisica quantistica ci porta davanti a questo. Infatti siamo universo olistico , ( non riducibile in parti ), quantistico , (indeterminato, con l’entanglement) discontinuo e discreto ( fatto di punti minimi non in progressione continua ) , indirizzato nel proprio essere tale con coscienza.